Lineární algebra A: Porovnání verzí

Verze z 20. 9. 2009, 00:40

Lineární algebra v podání pana asistenta Pytlíčka patří k nejobtížnějším předmětů prvního ročníku. Podána bývá naprosto precizně, přednášky obvykle odpovídají až na pár drobností skriptům. Pan asistent je nadstandardně spravedlivý, úspěšnost však bývá velmi nízká.

Obecně

Zkouška

Zkouška v obou semestrech vypadá obdobně. Skládá se ze 2 částí (písemné a ústní), obě se konají v jeden den. Písemná část trvá 100 minut a obsahuje 3 příklady. Následuje přibližně 80 minutová pauza a pak ti, kteří napsali úspěšně písemku (alespoň polovina úplně správně na nejhorší známku), pokračují k ústní části. Pokud student neumí některou větu nebo definici správně vyslovit, obvykle okamžitě končí. V případě, že student byl vyhozen a jde na zkoušku znovu, opět začíná písemnou částí.

Lineární algebra A 1 (01LAA1), Lineární algebra plus (01LAP)

Lineární algebra A 2 (01LAA2)

Seznam definic

48. Identický operátor

49. Čtvercová matice - regulární, singulární, jednotková

50. Inverzní matice

51. Matice přechodu

52. Permutace množiny

53. Transpozice

54. Signum permutace Pí, lichost, sudost

55. K-lineární forma

56. Antisymetrie k-lineární formy, definice násobení číslem a sčítání dvou k-lineárních antisymetrických forem

57. Determinant operátoru

58. Determinant matice

59. Algebraický doplněk

60. Matice adjungovaná

61. Submatice

62. Invariantní podprostor vzhledem k operátoru

63. Vlastní (charakteristické) číslo, vlastní (charakteristický vektor), spektrum operátoru

64. Charakteristický polynom operátoru, charakteristická rovnice operátoru

65. Algebraická násobnost a geometrická násobnost vlastního čísla

66. Diagonální matice, diagonalizovatelný operátor, diagonální báze

67. Hermitovská forma, diagonála hermitovské formy

68. Nulový prostor, nulita, regularita a singularita hermitovské formy

69. Polární báze kvadratické formy

70. Kvadratická forma, polára, polární báze, regularita a singularita kvadratické formy

71. Kladný, záporný index setrvačnosti, signatura, hodnost

72. Pozitivně (semi)definitní, negativně (semi)definitní, indefinitní kvadratická forma

73. Matice hermitovské (kvadratické) formy

74. Prostor se skalárním součinem h, skalární souèin, norma vektoru, eukleidovský prostor, unitární prostor

75. Gramova matice souboru, Gramùv determinant - gramián

76. Ortogonální soubor vektorù, ortonormální soubor vektorů

77. I-tý Fourierùv koeficient

78. Úplnost souboru

79. Ortogonální doplněk

80. Operátor sdružený

81. Operátor: normální; samosdružený - symetrický, hermitovský; izometrický - ortogonální, unitární

82. Matice: normální; samosdružená - symetrická, hermitovská; izometrická - ortogonální,

unitární

83. Kvazidiagonální matice

84. Vzdáleností množin

85. Úhel vektorù, úhel přímek

86. Normálový vektor nadroviny, úhel přímky a nadroviny, úhel nadrovin

87. Vektorový souèin

Seznam vět

62. Souvislost levého a pravého inverzního s monomorfností a epimorfností

63. Regularita inverzního ke složenému

64. Existence inverzní matice k regulární

65. Regularita matice v závislosti na existenci levé či pravé inverzní

66. O matici inverzního operátoru

67. Gaussova metoda k nalezení inverzní matice

68. O matici pøechodu

69. O změně bází pøes matice pøechodu

70. Rozložení permutace na transpozice (nepovinný důkaz!)

71. Množina všech k-lineárních antisymetrických forem je vektorový prostor

72. Antisymetrie formy skrz LZ soubor vektorù

73. Vytáhnutí znaménka permutace z k-lineární antisymetrické formy

74. Existence právì jedné k-lineární antisymetrické formy nabývající hodnoty 1

75. Dimenze prostoru k-lineárních antisymetrických forem

76. Nenulová k-lineární antisymetrická forma na bázi prostoru nabývá nenulové hodnoty

77. Existence čísla alfa, jež se stane determinantem operátoru

78. Determinant operátoru pomocí formy nabývající jedničku

79. Vlastnosti determinantu operátoru a vztah k regularitì

80. Determinant matice je k-lineární antisymetrická forma

81. Vlastnosti determinantu matice, vztah k regularity a transpozice matice

82. Vìta o rozvoji determinantu podle k-tého sloupce

83. Cramerovo pravidlo

84. Součin matice a matice adjungované je deteterminant matice krát jednotková

85. Věta o hodnosti matice v závislosti na subdeterminantech

86. Vlastní vektory + nulový vektor = podprostor

87. Lineární nezávislost vektorů příslušejících k různým vl. číslům

88. Determinant operátoru (A - lambda E) je polynom

89. Spektrum je průnik tělesa s množinou řešení rovnice pA(¸) = 0

90. Spektrum na komplexním tělesem

91. Geometrická násobnost vl. čísla je menší než algebraická

92. Diagonalizovatelnost operátoru

93. Hamilton-Cayleyho věta

94. Vlastnosti hermitovské formy a její diagonály (včetně rovnoběžníkové rovnosti a polarizačních identit)

95. Každá hermitovská forma má polární bázi (nepovinný důkaz!)

96. Nezávislost poètu nul v Q(ai) na volbě polární báze

97. Zákon setrvačnosti kvadratických forem

98. Hodnost kvadratické formy je rovna hodnosti její matice

99. Jacobiho vìta

100. Sylvestrovo kriterium

101. Vlastnosti skalárního souèinu

102. Schwarzova nerovnost

103. Trojúhelníková nerovnost

104. LN skrz gramián

105. Pythagorova vìta

106. Ortogonální soubor nenulových vektorů je LN

107. Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces

108. Besselova nerovnost

109. Ekvivalence pìti tvrzení o ortonormálním souboru (vč. Parsevalovy nerovnosti)

110. Ortogonální doplněk

111. O ortogonálním rozkladu

112. Rieszova vìta

113. Existence sdruženého operátoru na prostoru konečné dimenze

114. Vlastnosti sdruženého operátoru

115. Nulový operátor na prostoru se skalárním souèinem

116. Nulový operátor samosdružený na prostoru konečné dimenze

117. Nulový operátor na unitárním prostoru

118. Normálnost operátoru v závislosti na rovnosti norem Ax a A*x

119. Izometrický operátor

120. Matice sdruženého operátoru

121. Vztah vlastnosti matice a operátoru

122. Pøedchozí vìta v obráceném gardu

123. Vlastní vektor u sdruženého operátoru

124. Vlastní vektory normálního operátoru

125. Násobnosti vlastního čísla normálního operátoru

126. Hermitovský operátor na unitárním prostoru konečné dimenze má reálné spektrum

127. Symetrický operátor na eukleidovském prostoru konečné dimenze

128. Velikost vlastního čísla izometrického operátoru

129. Diagonalizovatelnost normálního operátoru na unitárním prostoru

130. Diagonalizovatelnost normálního operátoru na eukleidovském prostoru

131. Normálnost operátoru v závislosti na diagonalizovatelnosti

132. Ortonormalita báze v závislosti na izometrii matice přechodu

Materiály

• Záznam přednášek v MP3

Doplňující materiály

• Pěstujeme lineární algebru - učebnice lineární algebry z MFF
• Používáme lineární algebru - sbírka řešených příkladů k předchozí knize, jako doplnění standardních cvičení se hodí si projít metody současných řádkových a sloupcových úprav pro diagonalizaci kvadratické formy